TD 07 : Maple en analyse

TD 7:

Corrigé du TD 7

Soit f la fonction définie pour tout réel x >0 par .

1° Etablir les singularités de la fonction f et vérifier sa continuité.

2° Etudier les limites de f aux bornes des intervalles composant Df.

Quelle est l'asymptote de la courbe Cf de f ?

3° Calculer f '( x ) et étudier son signe ( on aura recours à une fonction auxiliaire g ).

4° Représenter la courbe Cf.

5° Etudier la dérivabilité du prolongement par continuité de f aux points 0 et 1.

Corrigé du Travail dirigé 7:

Énoncé du TD 7

> f:=x->x^(x/(1-x));

> singular(f(x)); # D=IR+*\{1}

> iscont(f(x),x=0..1),iscont(f(x),x=1..infinity);

Conclusion: f est définie et continue sur ]0,1[ et ]1,+infini[.

> Limit(f(x),x=0,right)=limit(f(x),x=0,right);

> Limit(f(x),x=1,left)=limit(f(x),x=1,left);

> Limit(f(x),x=1,right)=limit(f(x),x=1,right);

> Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity);

Donc une asymptote, l'axe des abscisses, au voisinage de +infini.

> df:=normal(diff(f(x),x));

df=f ' a donc le signe de .

> g:=x->ln(x)+1-x;

> solve(g(x)=0);

> solve(g(x)<0);

> solve(g(x)>0); # pas de solution

g(x) est donc toujours négative et nulle pour x=1 .

f est donc décroissante sur ]0,1[ et ]1,+infini[.

> plot(f(x),x=0..10,numpoints=1000,color=black);

Complément:

f est prolongeable par continuité au point 0 puisque sa limite en ce point vaut 1.

Cherchons si le prolongement obtenu est dérivable au point 0 en calculant:

> Limit((f(x)-1)/x,x=0,right)=limit((f(x)-1)/x,x=0,right);

Le prolongement de f n'est pas dérivable au point 0.

La limite de l'accroissement de f étant infinie,existence d'une tangente dirigée par Oy au point (0,1).

f est prolongeable par continuité au point 1 puisque sa limite en ce point vaut .

Cherchons si le prolongement obtenu est dérivable au point 0 en calculant:

> Limit((f(x)-exp(-1))/(x-1),x=1)=limit((f(x)-exp(-1))/(x-1),x=1);

Le prolongement de f est donc dérivable au point 1 et f '(1)= .

C'est la pente de la tangente à Cf au point (1, ).
 

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