Chapitre 01 : Découverte des premières fonctionnalités

Tous les ordres passés à l'ordinateur se font dans les zones précédées du signe > .

Ces zones sont des zones d'entrée ( input ).

Presser la touche Entrée pour transmettre l'ordre au logiciel.

Les lignes doivent impérativement se terminer par un point-virgule ; ou par deux points :

Noter la différence entre ces deux possibilités:

> 12+abs(4-3*sqrt(5));

Si la ligne se termine par un point-virgule, l'ordre est validé et le logiciel fournit une réponse
dans une zone de sortie ( output ) .

> 12+abs(4-3*sqrt(5)):

Si la ligne se termine par deux points, l'ordre est simplement validé sans réponse du logiciel.

Des messages d'erreur peuvent apparaître en cas de mauvaise saisie ou d'opérations illicites:

> 12+abs(4-3*sqrt(5);

Error, `;` unexpected

> 1/cos(Pi/2);

Error, numeric exception: division by zero

Obtenir de l'aide sur une fonction en utilisant ? ou help:

Ici on cherche de l'aide sur la fonction solve .

> ??solve;

> help(solve);

Voir aussi plus en détail pour les variantes ?? et ??? .

Faire des calculs simples:

> 15!; # ou factorial(15)

> (1-1/7)*(1+2/3)^2;

Affecter une valeur à une variable en utilisant :=

> p:=2.14;

> expr:=p-ln(p);

Développer , factoriser , ou simplifier une expression:

> f:=(a+b)^6;

> expand(f);

> factor(%);

> %%;

% permet de rappeler la dernière expression calculée (% est le Ditto Operator )

%% permet de rappeler l'avant-dernière expression calculée.

%%% permet de rappeler l'avant-avant-dernière expression calculée.

> simplify(cos(x)^2+sin(x)^2);

Substituer en utilisant la fonction subs(variable=remplacement,expression)

> subs(a=c,f);

Calculer à une précision voulue: evalf(expression) ou evalf(expression,nbdécimales)

> evalf(sqrt(3)); # sqrt désigne la racine carrée

> evalf(sqrt(3),50);

# permet de définir un commentaire dans une ligne (tout ce qui est après le signe # est ignoré)

Ecrire une expression avec print ou lprint ou printf

> f:=a-3/a+1/(a*a+1);

> print(f);

> lprint(f);

a-3/a+1/(a^2+1)

La fonction printf est celle du langage C, permettant l'affichage de données selon des formats préétablis et en utilisant des caractères de contrôle.

Exemple: %d : nombre entier, %f : nombre en virgule flottante simple précision, \n : passage à la ligne.
Voir également les fonctions: fprintf , sprintf , et nprintf .

> printf("%d %f \n",123,1234/567);

123 2.176367

Définir une fonction à une ou plusieurs variables:

> f:=t->sin(t)-t;

> f(3*x+2);

> g:=(u,v,w)->1/u+exp(u+v)+(u-v+w)^2;

> g(2*a,b,3*c);

Dériver une fonction à une ou plusieurs variables en utilisant la fonction diff:

> diff(f(t),t);

> diff(g(u,v,w),v);

Intégrer une fonction à une variable en utilisant la fonction int:

> int(f(t),t); # donne une primitive de f

> Int(g(u,v,w),v)=int(g(u,v,w),v);

> Int(f(t),t=0..Pi)=int(f(t),t=0..Pi);

Noter la forme inerte Int qui affiche l'intégrale et la forme int qui calcule l'intégrale.

Calcul de limites, de sommes, de produits:

> limit((2*t-3)/(3*t+4),t=infinity);

> limit((2*t-3)/(3*t+4),t=-4/3,right); #limite à droite  (left pour une limite à gauche)

> Sum(i^2,i=1..10)=sum(i^2,i=1..10);

> Product(1/i,i=1..10)=product(1/i,i=1..10);

Noter là aussi les formes inertes Sum et Product qui affichent respectivement les symboles sigma et pi .

Résoudre une équation à une inconnue en utilisant la fonction solve:

> solve(2*t+3=-t+6*sqrt(2));

> solve(t-15/4*u=5/2*(u-t)+3,u);

Résoudre un système d'équations à plusieurs inconnues en utilisant la fonction solve:

> solve({a-b=2,a+3*b=7},{a,b});

Approcher les solutions d'une équation ou d'un système d'équations en utilisant la fonction fsolve:

> fsolve(cos(t)=t);

> fsolve({t^3+u=1,u-(t-1)^3=t},{t,u});

Représenter une fonction à une ou plusieurs variables en utilisant la fonction plot ou plot3d:

> plot(sin(t)/t,t=-20..20,title="fonction t ---> sin t / t");

> plot3d(x*exp(-x^2-y^2),x=-2..2,y=-2..2,color=x,orientation=[120,75]);

Exercice corrigé 1:

1. Définir la fonction f : .

2. Calculer les 3 premières dérivées de f , en les donnant sous forme factorisée .

3. Calculer la valeur numérique de l'intégrale de f sur .

4. Représenter dans un même repère f et la fonction sur .

5. Les deux courbes ont un point commun : calculer une valeur approchée de son abscisse .

>

f:=x->2*exp(-x^2)-x/2;

> diff(f(x),x);

> factor(diff(%,x));

> factor(diff(%,x));

> evalf(int(f(x),x=-1..2));

> plot({f(x),x},x=-1..2);

> fsolve(f(x)=x);

Travail dirigé 1:

TD 1.1:

1° Définir la fonction f qui à x associe .

2° Calculer les 3 premiers nombres dérivés successifs de f au point x

(on les écrira sous forme factorisée)

3° On pose pour : . Calculer (on les écrira sous forme simplifiée)

4° Calculer les racines des polynômes .

5° Représenter dans un même repère pour x compris entre et 2.

6° Calculer l'intégrale de sur .

TD 1.2:

1° Développer en fonction de .  

2° Déterminer les polynômes de la variable X tels que

lorsque (polynômes de Tchébychev ) .

3° Représenter sur .

4° Calculer les racines de .

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